問題
http://community.topcoder.com/stat?c=problem_statement&pm=12842&rd=15711
多角形の外周の長さである、整数Ｌが与えられる。
多角形の各点はｘ、ｙ座標上になければいけない。
このとき、考えられる多角形のうち、辺の数が最も少ないものについて
一番長い辺と一番短い辺の差を求める。
解き方
問題文のままだと全探索を考えるのも難しいので、法則がないか一つ一つ考える。
１つ目は四角形のとき、Ｌは偶数でなければいけない。
２つ目に辺の長さが√xのとき、辺の長さの合計であるLは整数にならない。
よって、辺の長さは整数となる。
３つ目として三角形のとき、a^2+b^2=c^2を考えると
a,b,cの組み合わせは(偶、奇、奇)、（偶、偶、偶）、（奇、奇、偶）。
よって、a+b+cは必ず偶数になるので、Ｌは偶数である。
これより、答えは四角形以下となる。
また、Ｌが３未満のときは答えが存在しないので４以上でなければいけない。
次に解き方として、三角形のときを考える。
問題を簡単にするために、１点は原点にあると考える。
各点はｘｙ座標上になければいけないので、原点との距離ｄである（ｘ、ｙ）を考えると
ｘ＾２＋ｙ＾２＝ｄ＾２かつｘ、ｙ、ｄは整数でなければいけない。
これを満たす全ての点に対し合計の長さがＬとなるものを求める。
そのような三角形がなければ、四角形のときを考える。
Ｌが４で割り切れれば正方形なので答えは０、そうでなければ長い辺が短い辺＋１である長方形が存在するので答えは１になる。
コード
using namespace std;
#define all(c) (c).begin(),(c).end()
#define FORE(i,d,e) for(int i=d;i<e;i++)
#define FOR(i,s,e) for (int i = int(s); i != int(e); i++)
#define FORIT(i,c) for (typeof((c).begin()) i = (c).begin(); i != (c).end(); i++)
#define ISEQ(c) (c).begin(), (c).end()
static const int maxc=2501*2501;
int A[20000],B[20000],square[maxc+1];
class FindPolygons {
public: double minimumPolygon(int L) {
memset(square,0,sizeof(square));
for(int i=1;i*i<=maxc;i++)square[i*i]=i;
int cnt=0;
FORE(c,1,L/2){
FORE(a,0,c+1){
int b=c*c-a*a;
if(square[b]){
A[cnt]=a;
B[cnt]=square[b];
cnt++;
}
}
}
int ret=1e+9;
FORE(i,0,cnt){
FORE(j,i+1,cnt){
int x1=A[i],y1=B[i];
int x2=A[j],y2=B[j];
int dx=x2-x1;
int dy=y2-y1;
int tmp=dx*dx+dy*dy;
if(tmp<maxc && square[tmp] && x1*y2-x2*y1!=0){
int a=square[A[i]*A[i]+B[i]*B[i]];
int b=square[A[j]*A[j]+B[j]*B[j]];
int c=square[tmp];
if(a+b+c==L){
ret=min(ret,max(a,max(b,c))-min(a,min(b,c)));
}
}
}
}
if(ret<1e+9)return (double)ret;
if(L%2==1 || L<4)return -1;
return L%4==0 ? 0.0 : 1.0;
}
};
#define all(c) (c).begin(),(c).end()
#define FORE(i,d,e) for(int i=d;i<e;i++)
#define FOR(i,s,e) for (int i = int(s); i != int(e); i++)
#define FORIT(i,c) for (typeof((c).begin()) i = (c).begin(); i != (c).end(); i++)
#define ISEQ(c) (c).begin(), (c).end()
static const int maxc=2501*2501;
int A[20000],B[20000],square[maxc+1];
class FindPolygons {
public: double minimumPolygon(int L) {
memset(square,0,sizeof(square));
for(int i=1;i*i<=maxc;i++)square[i*i]=i;
int cnt=0;
FORE(c,1,L/2){
FORE(a,0,c+1){
int b=c*c-a*a;
if(square[b]){
A[cnt]=a;
B[cnt]=square[b];
cnt++;
}
}
}
int ret=1e+9;
FORE(i,0,cnt){
FORE(j,i+1,cnt){
int x1=A[i],y1=B[i];
int x2=A[j],y2=B[j];
int dx=x2-x1;
int dy=y2-y1;
int tmp=dx*dx+dy*dy;
if(tmp<maxc && square[tmp] && x1*y2-x2*y1!=0){
int a=square[A[i]*A[i]+B[i]*B[i]];
int b=square[A[j]*A[j]+B[j]*B[j]];
int c=square[tmp];
if(a+b+c==L){
ret=min(ret,max(a,max(b,c))-min(a,min(b,c)));
}
}
}
}
if(ret<1e+9)return (double)ret;
if(L%2==1 || L<4)return -1;
return L%4==0 ? 0.0 : 1.0;
}
};